Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點，EP⊥底面ABCD．
（1）求證：AQ∥平面CEP；
（2）求證：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱錐E-AQC的體積．

Answer 1

（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，
∴AQCP為平行四邊形，∴CP∥AQ．∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P為AB中點，∴AP=AD．連PQ，則ADQP為正方形．∴AQ⊥DP．
又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ?平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．
（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP為三棱錐E-AQC的高，
∴VE-AQC=

1

3

S△AQC•EP=

1

3

×

1

2

CQ•AD•EP=

1

6

×1×1×1=

1

6

．