Question

已知橢圓,為其右焦點，離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；
(Ⅱ)若點，問是否存在直線，使與橢圓交于兩點，且．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在這樣的直線，其斜率的取值范圍是．

解析試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的參數之間的關系容易求解；（Ⅱ）假設存在這樣的直線滿足題意，并設．根據，可以得到與的關系式．由，得，利用一元二次方程的根與系數的關系，可以轉化為和的關系，再利用判別式，即可判斷是否存在這樣的直線，以及存在時的取值范圍．
試題解析：
（Ⅰ）由題意知：，∵離心率，∴，，
故所求橢圓C的標準方程為．                        4分
（Ⅱ）假設存在這樣的直線滿足題意，并設．
因為，，，
所以：

                            5分
由，得．
根據題意，，得，
且，
所以                         8分
即，
解得，或．                        10分
當時，（），顯然符合題意；
當時，代入，得，解得．
綜上所述，存在這樣的直線，其斜率的取值范圍是．          13分．
考點：橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、一元二次方程根和系數的關系．