Question

三個城市襄陽、荊州、武漢分別位于A，B，C三點處（如右圖），且km，BC=40km．今計劃合建一個貨運中轉站，為同時方便三個城市，準備建在與B、C等距離的O點處，并修建道路OA，OB，OC．記修建的道路的總長度為ykm．
（Ⅰ）設OB=x（km），將y表示為x的函數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數關系，確定貨運中轉站的位置，使修建的道路的總長度最短．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設OB=xkm，延長AO交BC于D，由題意知BD=DC=，OB=OC，OA=AD-OD==20-OD，由此能夠將y表示為x的函數．
（Ⅱ）由y=2x+20-，知，由此能推導出當貨物中轉站建立在三角形區域內，且到B，C兩點的距離均為km時，修建的道路和總長度最短．
解答：解：（Ⅰ）設OB=x（km），延長AO交BC于D，
由題意知BD=DC=，OB=OC，
OA=AD-OD==20-OD，
在Rt△ODB中，OD==，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-，20≤x≤20．
（Ⅱ）∵y=2x+20-，
∴，
∵20≤x≤20，
∴x∈[20，）時，y′0．
∴函數在x=時，取得極小值，這個極小值是函數在[20，20]上的最小值．

所以，當貨物中轉站建立在三角形區域內，且到B，C兩點的距離均為km時，修建的道路和總長度最短．
點評：本題考查導數在求最大值和求最小值中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．