Question

三個(gè)城市襄陽(yáng)、荊州、武漢分別位于A，B，C三點(diǎn)處（如右圖），且AB=AC=20

2

km，BC=40km．今計(jì)劃合建一個(gè)貨運(yùn)中轉(zhuǎn)站，為同時(shí)方便三個(gè)城市，準(zhǔn)備建在與B、C等距離的O點(diǎn)處，并修建道路OA，OB，OC．記修建的道路的總長(zhǎng)度為ykm．
（Ⅰ）設(shè)OB=x（km），將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數(shù)關(guān)系，確定貨運(yùn)中轉(zhuǎn)站的位置，使修建的道路的總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)OB=xkm，延長(zhǎng)AO交BC于D，由題意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，由此能夠?qū)�y表示為x的函數(shù)．
（Ⅱ）由y=2x+20-

x2-202

，知y′=2-

x

x2-202

，由此能推導(dǎo)出當(dāng)貨物中轉(zhuǎn)站建立在三角形區(qū)域內(nèi)，且到B，C兩點(diǎn)的距離均為

40 3

3

km時(shí)，修建的道路和總長(zhǎng)度最短．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)OB=x（km），延長(zhǎng)AO交BC于D，
由題意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，
OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-

x2-202

，20≤x≤20

2

．
（Ⅱ）∵y=2x+20-

x2-202

，
∴y′=2-

x

x2-202

，
∵20≤x≤20

2

，
∴x∈[20，

40 3

3

）時(shí)，y′0．
∴函數(shù)在x=

40 3

3

時(shí)，取得極小值，這個(gè)極小值是函數(shù)在[20，20

2

]上的最小值．

所以，當(dāng)貨物中轉(zhuǎn)站建立在三角形區(qū)域內(nèi)，且到B，C兩點(diǎn)的距離均為

40 3

3

km時(shí)，修建的道路和總長(zhǎng)度最短．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求最大值和求最小值中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．