Question

【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，過點（0，﹣b），（a，0）的直線與原點的距離為 ，M（x0 ， y0）是橢圓上任一點，從原點O向圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記直線OP，OQ的斜率分別為k1 ， k2 ， 試求k1k2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = = ，
即a2=2b2 ， ①
設過點（0，﹣b），（a，0）的直線方程為 ，
即bx﹣ay﹣ab=0，
因為直線與原點的距離為 ，
∴ = ，整理得： =2，②
由①②得 ，
∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）由直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓M相切，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得 = = ，
平方整理，可得k12（2﹣x02）+2k1x0y0+2﹣y02=0，
k22（2﹣x02）+2k2x0y0+2﹣y02=0，
∴k1 ， k2是方程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02=0的兩個不相等的實數根，
k1k2= ，
由點R（x0 ， y0）在橢圓C上，
∴ ，即y02=3（1﹣ ）=3﹣ x02 ，
∴k1k2= =﹣ ，
k1k2的值為﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式可知a2=2b2 ， 利用點到直線的距離公式 =2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，可知k1 ， k2是方程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02=0的兩個不相等的實數根，利用韋達定理即可求得k1k2 ， 由R（x0 ， y0）在橢圓C上，y02=3﹣ x02 ， 代入即可求得k1k2的值．