Question

如圖，已知焦點在軸上的橢圓經過點，直線
交橢圓于不同的兩點．

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數的取值范圍；
（3）是否存在實數，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

試題分析：（1）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數，得到橢圓的標準方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結合向量垂直的條件求出m，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
試題解析：解：（1）依題意，解得，    2分
所以橢圓的標準方程是．      3分
（2）由得，           4分
直線與橢圓有兩個不同的交點，
            6分
解得                          7分
（3）假設存在實數滿足題意，則由為直角得，        8分
設，，由（2）得，    9分
，   10分
，             11分

             12分
得   13分
因為，
綜上所述，存在實數使△為直角三角形．    14分