Question

設數列{a_n}滿足a_n+1=a

2 n

-na_n+1，n=1，2，3…．
（Ⅰ）當a₁=2時，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一個通項公式（不需要證明）；
（Ⅱ）當a₁≥3時，用數學歸納法證明：a_n≥n+2；
（Ⅲ）當a₁=3時，求證：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列的求和

專題：證明題,綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=a

2 n

-na_n+1，n=1，2，3…，可求得a₂=3，繼而可求得a₃=4，a₄=5，由此猜想a_n的一個通項公式：a_n=n+1；
（Ⅱ）利用數學歸納法證明：易證①當n=1時，不等式成立；
②假設當n=k時結論成立，即a_k≥k+2，去推證n=k+1時，結論也成立即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n+1=a_n（a_n-n）+1≥2a_n+1，整理可得a_n+1+1≥2（a_n+1），于是

1

1+an+1

≤

1

2

•

1

1+an

，反復放縮，可得

1

1+an

≤=(

1

2

)n+1，利用等比數列的求和公式可證得結論成立．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3；
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4；
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5；
由此猜想a_n的一個通項公式：a_n=n+1…4分
（Ⅱ）證明：①當n=1時，a₁≥3=1+2，不等式成立…6分
②假設當n=k時結論成立，即a_k≥k+2，則a_k+1+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3=（k+1）+2，
即n=k+1時，結論也成立．
由①和②可知，a_n≥n+2…10分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，a_n+1=a_n（a_n-n）+1≥2a_n+1，
即a_n+1+1≥2（a_n+1），于是

1

1+an+1

≤

1

2

•

1

1+an

，…12分
所以

1

1+an

≤

1

2

•

1

1+an-1

≤(

1

2

)2•

1

1+an-2

≤…≤(

1

2

)n-1•

1

1+a1

=(

1

2

)n+1．
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1=

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

1

2

-(

1

2

)n+1＜

1

2

．

點評：本題考查數列遞推關系的應用，著重考查數學歸納法的應用，考查歸納猜想、放縮法的應用及推理論證的能力，是難題．