Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥Pc，垂足為F，求證：PB⊥平面AEF．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：由已知中PA垂直于圓O所在平面，易得PA⊥BC，再由圓周角定理的推論可得AC⊥BC，結合線面垂直的判定字定理可得BC⊥平面PAC，進而由線面垂直的性質得到BC⊥AF，由AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，可得AF⊥平面PBC，進而得到AF⊥PB，結合AE⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面AEF．

解答： 證明：由題意可得：
∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上．
∴PA⊥BC；
又AB是圓O的直徑，
∴AC⊥BC；
又AC，PA在平面PAC中交于A，
∴BC⊥平面PAC；
又AF?平面PAC，
∴BC⊥AF；
∵AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，
∴AF⊥平面PBC；
又PB?平面PBC，
∴AF⊥PB；
又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，
∴PB⊥平面AEF．．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握空間線面垂直、面面垂直、線線垂直之間關系的轉化是解答本題的關鍵，屬于基本知識的考查．