Question

【題目】設橢圓過點、.

（1）求橢圓的方程；

（2）、為橢圓的左、右焦點，直線過與橢圓交于、兩點，求△面積的最大值；

（3）求動點的軌跡方程，使得過點存在兩條互相垂直的直線、，且都與橢圓只有一個公共點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分別將、坐標代入橢圓方程求出，即可；（2）設，與橢圓方程聯立得，，所以，進而利用基本不等式求出的最大值；（3）設， ，切點為，， ，切點為， ，根據條件可得 ①，③，④，⑤，聯立以上式子求出的軌跡即可．

（1）將、坐標代入得，解得，，所以橢圓方程為；

（2）設，聯立，整理得，

所以，，

而，

所以，

則，當且僅當時取最大值；

（3）設，，

切點為，，，切點為， ，

因為，所以①，

聯立，得，，

所以②，

且③，④，

聯立①③④可得⑤，

聯立①③④⑤，得，

所以的軌跡方程為．