【題目】已知數列
、
滿足
，其中
數列的前
項和，
（1）若數列是首項為
.公比為
的等比數列，求數列的通項公式；
（2）若
，
求證：數列滿足
，并寫出的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設
，求證
中任意一項總可以表示成該數列其它兩項之積.
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【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
、
，
是橢圓的上頂點，
，且
的面積為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是橢圓上的兩個動點，
，求當
的面積取得最大值時，直線
的方程．
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【題目】把一個均勻的正方體骰子拋擲兩次，觀察出現的點數，記第一次出現的點數為
，第二次出現的點數為
，設直線
：
，直線
：
.
（1）求直線和直線沒有交點的概率；
（2）求直線和直線的交點在第一象限的概率.
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【題目】某學校為了解高二學生學習效果，從高二第一學期期中考試成績中隨機抽取了25名學生的數學成績（單位：分），發現這25名學生成績均在90～150分之間，于是按
，
，…，
分成6組，制成頻率分布直方圖，如圖所示：
（1）求
的值；
（2）估計這25名學生數學成績的平均數；
（3）為進一步了解數學優等生的情況，該學校準備從分數在
內的同學中隨機選出2名同學作為代表進行座談，求這兩名同學分數在不同組的概率.
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【題目】設橢圓
過點
、
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）
、
為橢圓的左、右焦點，直線
過與橢圓交于
、
兩點，求△
面積的最大值；
（3）求動點
的軌跡方程，使得過點存在兩條互相垂直的直線
、
，且都與橢圓只有一個公共點.
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【題目】某工廠有兩個車間生產同一種產品，第一車間有工人200人，第二車間有工人400人，為比較兩個車間工人的生產效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，并對他們中每位工人生產完成一件產品的時間（單位：min）分別進行統計，得到下列統計圖表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分組）．
分組 | 頻數 |
[55，65） | 2 |
[65，75） | 4 |
[75，85） | 10 |
[85，95] | 4 |
合計 | 20 |
第一車間樣本頻數分布表
（Ⅰ）分別估計兩個車間工人中，生產一件產品時間小于75min的人數；
（Ⅱ）分別估計兩車間工人生產時間的平均值，并推測哪個車間工人的生產效率更高？（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）
（Ⅲ）從第一車間被統計的生產時間小于75min的工人中隨機抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生產時間小于65min的概率．
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【題目】如圖，長方體
中，
，
，
，點
分別在
上，
（1）求直線
與
所成角的余弦值；
（2）過點的平面
與此長方體的表面相交，交線圍成一個正方形，求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.
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【題目】已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內切圓的半徑為
，設過點F2的直線l與被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|＝3.
(1) 求橢圓C的標準方程；
(2) 若點M(0，m)，（
），過點M的任一直線與橢圓C相交于兩點A.B，y軸上是否存在點N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判斷m、n應滿足關系；若不存在，說明理由。
(3) 在（2）條件下m=1時，求△ABN面積的最大值。
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【題目】已知
分別是橢圓
的左右焦點.
（Ⅰ）若
是第一象限內該橢圓上的一點，
,求點的坐標.
（Ⅱ）若直線
與圓
相切，交橢圓
于
兩點，是否存在這樣的直線，使得
？
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