Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點M，N分別為線段A1B，AC1的中點．

（1）求證：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在邊BC上，AD⊥DC1 ， 求證：MN⊥AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接A1C，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C為平行四邊形，

又∵N分別為線段AC1的中點．

∴AC1與A1C相交于點N，即A1C經過點N，且N為線段A1C的中點，

∵M為線段A1B的中點，

∴MN∥BC，

又∵NN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

∴MN∥平面BB1C1C

（2）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

又AD平面ABC1，所以CC1⊥AD，

∵AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，

∴AD⊥平面BB1C1C，

又∵BC平面BB1C1C，

∴AD⊥BC，

又由（1）知，MN∥BC，

∴MN⊥AD

【解析】（1）由題意，利用三角形中位線定理可證MN∥BC，即可判定MN∥平面BB1C1C．（2）利用線面垂直的性質可證CC1⊥AD，結合已知可證AD⊥平面BB1C1C，從而證明AD⊥BC，結合（1）知，MN∥BC，即可證明MN⊥AD．