Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），以F₁（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F₁，過點B₂（0，b）作圓F₁的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經過點B₁（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（

2

-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區間（-

2

2

，-

3

3

）內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓的切線的性質，結合題意可得B₂、M、F₁、N四點在以B₂F₁為直徑的圓上，求得過此四點的圓方程是（x+

c

2

）²+（y-

b

2

）²=

1

4

(b2+c2)，而圓F₁的方程是（x+c）²+y²=（a-c）²，將圓方程相減得到公共弦MN的方程，將點B₁的坐標代入并化簡，即可解出此橢圓的離心率；
（2）由題意得b=c，利用點到直線的距離公式求出原點到直線MN的距離，得到關于a、c的等式，聯解得出a、b之值，可得此時的橢圓方程；
（3）由（1）的計算可得：假設滿足條件的橢圓存在，則-

2

2

＜-

c

b

＜-

3

3

成立，由此利用橢圓的平方關系和離心率公式，將不等式等價變形得到離心率e∈（

1

2

，

3

3

），從而得出滿足條件的橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：（1）∵圓F₁以（-c，0）為圓心，以a-c為半徑，
∴圓F₁的方程是（x+c）²+y²=（a-c）²，
∵B₂M、B₂N與圓F₁切于M、N點，∴B₂、M、F₁、N四點共圓，且B₂F₁為直徑，
由此可得：過此四點的圓的方程是（x+

c

2

）²+（y-

b

2

）²=

1

4

(b2+c2)，
兩圓方程相減，可得兩個圓的公共弦MN的方程為cx+by+c²=（a-c）²，
又∵點B₁在MN上，∴a²+b²-2ac=0，
由b²=a²-c²，化簡得2a²-2ac-c²=0，即e²+2e-2=0，
∴此橢圓的離心率e=

3

-1（負值舍去）．
（2）由（1）知，MN的方程為cx+by+c²=（a-c）²，由已知-

c

b

=-1可得b=c，
∵原點到MN的距離為d=

|c2-(a-c)2|

c2+b2

=

|2ac-a2|

a

=|2c-a|=

2

a，
∴a=4，b²=c²=8，所求橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1；
（3）由（1）的計算，可得直線MN的斜率為-

c

b

．
假設存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區間（-

2

2

，-

3

3

）內取值，
則有-

2

2

＜-

c

b

＜-

3

3

成立，
∴

3

3

＜

c

b

＜

2

2

，得

1

3

＜

c2

b2

＜

1

2

，即

1

3

＜

c2

a2-c2

＜

1

2

，解得3c²＜a²＜4c²，
由此可得e²=

c2

a2

∈（

1

4

，

1

3

），所以橢圓的離心率e∈（

1

2

，

3

3

）．
因此，當離心率取值范圍是（

1

2

，

3

3

）時，直線MN的斜率可以在區間（-

2

2

，-

3

3

）內取值．

點評：本題著重考查了直線基本量與基本形式、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系，橢圓的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．同時考查了計算能力、邏輯推理能力和轉化化歸的數學思想，是一道不錯的綜合題．