Question

如圖，P△ABC所在平面外一點，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中點，N是AB上的點，AN=3NB，
（1）求證：MN⊥AB；
（2）當∠PAB=90°，BC=2，AB=4時，求MN的長．

Answer 1

（1）證明：取AB中點Q，連接PQ，CQ，
因為CB⊥平面PAB，則PQ⊥BC，又PA=PB，所以PQ⊥AB，
于是PQ⊥平面ABC，所以∠PQC=90°，
因為M是PC中點，所以MQ=

1

2

PC，
又因為∠CBP=90°，所以MB=

1

2

PC，所以MB=MQ；
而N是BQ的中點，所以MN⊥AB；
（2）當∠PAB=90°，BC=2，AB=4時，
有PB=2

2

，PC=2

3

，MB=

1

2

PC=

3

，
所以MN=

MB2-BN2

=

2

．