Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

2

，M為AB的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角S-CM-B的大小；
（Ⅲ）求點B到平面SCM的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB．根據線面垂直的性質定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（Ⅱ）欲求二面角N-CM-B的大小，可先作出二面角的平面角，結合SD⊥平面ABC．過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，
從而得出∠SED為二面角S-CM-A的平面角．最后在Rt△SDE中求解即可；
（Ⅲ）設點B到平面SCM的距離為h，利用等到體積法：V_B-SCM=V_S-CMB，即可求得點B到平面SCM的距離．

解答：證明：（Ⅰ）取AC中點D，連接DS、DB．
∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥DB，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，
∴∠SED為二面角S-CM-A的平面角．
由已知有DE

∥

.

1

2

AM，所以DE=1，又SA=SC=2

2

，AC=4，∴SD=2．
在Rt△SDE中，tan∠SED=

SD

DE

=2，
∴二面角S-CM-A的大小為arctan2，
∴二面角S-CM-B的大小為π-arctan2．
（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=

SD2+DE2

=

5

，CM是邊長為4正△ABC的中線，CM=2

3

．
∴S_△SCM=

1

2

CM•SE=

1

2

×2

3

×

5

=

15

，
設點B到平面SCM的距離為h，
由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC，得

1

3

S_△SCM•h=

1

3

S_△CMB•SD，
∴h=

S△CMB•SD

S△SCM

=

4 5

5

．即點B到平面SCM的距離為

4 5

5

．

點評：本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力．