Question

【題目】是個循環小數，表示的小數點后第位開始，連續位上的數字之積．證明存在自然數、，對任意的、，均有．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不妨設為純循環小數，．，的循環節為．即，，2，…．

如果某個，可取，所以還假設，，．

作代換，，則．

以下證明，一定存在自然數，對任意的，均有．

鑒于，證明只需要對來進行．

如果，，…，這個乘積均不大于1，那么，可取．

如果它們之中至少有一個大于1，不妨設是其中最大者，那么，

，，…，．

這是因為，如果其中有一個大于1，那么把它乘到上去，就得到比更大的數，這與指標的選取矛盾．

另外，，，…，．

這是因為，按的取法可知，上述各式左邊除去最初個因子，其余各因子之值均不小于．

這樣，我們證明了一定存在自然數，對任意的，均有，

即．從而，．

同理可證一定存在自然數，對任意的，有，即．