Question

已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由離心率為，得，再根據(jù)橢圓C過點，代入得，聯(lián)立之可求得的值，進而寫出橢圓方程；（2）考察直線和橢圓的位置關(guān)系，一般要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得關(guān)于某一變量的一元二次方程，設(shè)交點，然后利用韋達定理達到設(shè)而不求的目的，同時要注意的隱含條件，該題設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得，則>0,得的范圍，設(shè)交點，，將表示為，然后利用韋達定理將其表示為的式子，進而可以看成是自變量為的函數(shù)，求其值域即可.
試題解析：（1）由題意得 解得，．橢圓的方程為．
（2）由題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由得. 直線與橢圓交于不同的兩點，，
，解得.設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，，，．
．
，．的取值范圍為．
考點：1、橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)；2、向量的數(shù)量積運算；3、韋達定理.