Question

【題目】已知函數（），數列滿足，，數列滿足.

（1）求證：數列是等差數列；

（2）設數列滿足（），且中任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，求的取值范圍；

（3）設數列滿足（），求的前項和.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3），.

【解析】

（1）等式兩邊同時減去1，得，從而2，由此能證明數列{}是以2為公差，1為首項的等差數列．

（2）由（1）可得數列{}的通項公式，得到{}遞增，將問題轉化為+＞，解出即可．

（3）利用等差數列等比數列求和公式對n分奇偶分別求和．

（1）∵，

等式兩邊同時減去1，得，

∴2，

∴2，又，即

又1，

∴數列{}是以2為公差，1為首項的等差數列．

（2）由（1）知數列{}是以2為公差，1為首項的等差數列，

∴1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，

∴cn＝．

因為k＞1，顯然{}遞增，

由中任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，得+＞，即+＞

解得．又k＞1，

∴．

（3）∵，

∴當n為偶數時，==，

∵當n為奇數時，n為偶數，

∴．

綜上：

，