Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過(guò)的點(diǎn)代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得的面積，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，

利用弦長(zhǎng)公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計(jì)算出的面積.得到結(jié)論為定值.

（1）解：因?yàn)?/span>的離心率為，

所以，

解得.①

將點(diǎn)代入，整理得.②

聯(lián)立①②，得，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

點(diǎn)為或，由對(duì)稱(chēng)性不妨取，

由（1）知橢圓的方程為，所以有.

將代入橢圓的方程得，

所以 .

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

將代入橢圓的方程

得，

由題意得，

整理得.

將代入橢圓的方程，

得.

設(shè)，，

則，，

所以 .

設(shè)，，，則可得，.

因?yàn)?/span>，所以，

解得（舍去），

所以，從而.

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，

所以點(diǎn)到直線的距離為，

所以 ，

綜上，的面積為定值.