Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）當(dāng)t＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí)，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間．設(shè)g（x）=f（x）+（x-2）e^x，試問(wèn)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)t＜1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)保值區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可期初

解答： 解（1）當(dāng)-2＜t≤0時(shí)，f'（x）=e^x（x²-x）≥0，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-2，t]；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，x∈（-2，0），f'（x）＞0；x∈（0，t），f'（x）＜0，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-2，0]，減區(qū)間為[0，t]…（4分）
（2）函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．   …（5分）
證明如下：
假設(shè)函數(shù)g（x）存在保值區(qū)間[a，b]．g（x）=（x-1）²e^x，g′（x）=（x²-1）e^x
因x＞1時(shí)，所以g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，所以

g(a)=(a-1)2ea=a g(b)═(b-1)2eb=b

即方程（x-1）²e^x=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根．          …（7分）
設(shè)φ（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），φ′（x）=（x²-1）e^x-1，φ''（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1，φ''（x）＞0，所以φ′（x）在（1，+∞）上單增，又φ′（1）=-1＜0，φ′（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀＞1使得φ′（x₀）=0…（9分）
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，
所以函數(shù)φ（x）在x₀處取得極小值．又因φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0，
所以φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，…（11分）
這與方程（x-1）²e^x=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾．
所以假設(shè)不成立，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解導(dǎo)數(shù)不等式是解決本題的關(guān)鍵．