Question

設n∈N^*，函數f_n（x）=xⁿ|x-a|（x≠a），其中常數a＞0．
（1）求函數f₂（x）的極值；
（2）設一直線與函數f₃（x）的圖象切于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜a．
①求x₁²+x₂²的值；
②求證：y₁＜y₂．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，列出表格，從而求出函數的極值，（2）①當x＜a時，f₃（x）=ax³-x⁴，f₃′（x）=3ax²-4x³，直線AB的方程為：y-ax13+x14=（3ax12-4x13）（x-x₁），
列出方程組求出即可，②證明：設x₁+x₂=s，x₁•x₂=t，則

a2=2(s2-2t) 3as=4( a2 2 +t)

，解出s，t，代入求出即可．

解答： 解：（1）依題意，f₂（x）=

x3-ax2，  x＞a ax2-x3，  x＜a

，
則f₂′（x）=

x(3x-2a)，  x＞a x(2a-3x)，  x＜a

，
由f₂′（x）=0得，x₁=0，x₂=

2

3

a＜a，
當x∈（a，+∞）時，f₂′（x）＞0，所以f₂（x）無極值；              
當x∈（-∞，a）時，列表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2 3 a，a）
f2（x）	-	0	+	0	-
f2（x）	↘	極小值0	↗	極大值	↘

所以函數f₂（x）的極小值為f₂（0）=0，極大值為f₂（

2

3

a）=

4

27

a³； 
（2）①當x＜a時，f₃（x）=ax³-x⁴，f₃′（x）=3ax²-4x³，
直線AB的方程為：y-ax13+x14=（3ax12-4x13）（x-x₁），
或y-ax23+x24=（3ax22-4x23）（x-x₂），
于是：

3ax12-4x13=3ax22-4x23 -2ax13+3x14=-2ax23+3x24

，
故x12+x22=

a2

2

（常數）；                                 
②證明：設x₁+x₂=s，x₁•x₂=t，
則

a2=2(s2-2t) 3as=4( a2 2 +t)

，
解得

s= a 2 t=- a2 8

或

s=a t= a2 4

（舍去，否則x₁=x₂），
故y₂-y₁=（ax23-x24）-（ax13-x14）
=a（x23-x13）-（x24-x14）
=（x₂-x₁）[a（

a2

2

-

a2

8

）-

a2

2

•

a

2

]
=（x₂-x₁）

a3

8

＞0
即證y₁＜y₂．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求函數的最值問題以及不等式的證明，是一道綜合題．