Question

定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：
①對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③當x∈（-1，0）時，都有f^′（x）＜0．
若方程f（x）=0在區間[a，3]上恰有3個不同實根，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：①對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；②f（0）=-1；我們易判斷出函數為周期函數，及其零點的分布情況，然后根據方程f（x）=0在區間[a，3]上恰有3個不同實根，易求出實數a的取值范圍．
解答：解：∵函數y=f（x）為偶函數，即f（1）=f（-1），
令x=-1，又由對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
則f（1）=f（-1）+f（1），故f（1）=f（-1）=0，
則f（x+2）=f（x）即函數是一個以2為周期的周期函數，
又∵當x∈（-1，0）時，都有f^′（x）＜0．
故只有（2K+1，0）（k∈Z）為函數的零點，
若方程f（x）=0在區間[a，3]上恰有3個不同實根，
則三個實根分別為3，1，-1，
故a∈（-3，-1]，
故答案為：（-3，-1]．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知條件分析函數的性質，進而判斷出函數零點的分布情況是解答本題的關鍵．