Question

【題目】已知函數（）

（1）討論函數的單調性；

（2）記是的導數，若當，時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.

【解析】

（1）求出，然后分、、三種情況討論即可；

（2）當時，，設，則，設，則，顯然在區間上單調遞增，且，然后分、兩種情況討論即可得到答案.

（1）由，得.

①當時，若，則；若，則，

所以恒成立，即時，單調遞增.

②當時，若，則，單調遞增；

若，則，單調遞減.

若，則，單調遞增.

③當時，若，則，單調遞增；

若，則，單調遞減；

若，則，單調遞增.

（2）當時，.

設，則.

設，則，

顯然在區間上單調遞增，且.

①當時，因為在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增.

又因為，所以當時，，即在區間上恒成立，從而在區間上單調遞增.

又因為，所以當時，，即，這時，符合題意.

②當時，因為，所以，使得在區間上恒成立，這時在區間上單調遞減.

又因為，所以當時，，

即在區間上恒成立，從而在區間上單調遞減.

又因為，所以當時，，即，這時，不符合題意.

綜上，實數的取值范圍為.