Question

（2008•襄陽模擬）已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx（b、c為常數）．
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，試求b，c的值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上單調遞增，且在（x₁，x₂）上單調遞減，又滿足x₂-x₁＞1．求證：b²＞2（b+2c）．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x），對其進行求導，因為若f（x）在x=1和x=3處取得極值，可知1、3是方程f′（x）=0的兩根，從而求出m和n；
（2）題意知，當x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時，f'（x）＞0；當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，再根據韋達定理進行證明；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx（b、c為常數），
∴f'（x）=x²+（b-1）x+c
據題意知1、3是方程x²+（b-1）x+c=0的兩根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，
即b=-3，c=3
（2）由題意知，當x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0
∴x1，x2是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根
則x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c
∴b=1-（x₁+x₂），c=x₁x₂
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x2-x1)2-1
∵x₂-x₁＞1，
∴(x2-x1)2-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）

點評：此題主要考查函數在某點的極值，利用導數研究函數的單調性，這是高考必考的考點，此題是一道中檔題；