Question

【題目】已知（，且，）是定義在區間上的奇函數，

（1）求的值和實數的值；

（2）判斷函數在區間上的單調性，并說明理由；

（3）若且成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，函數在區間上單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞減,證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據奇函數的特性，可得,再由,，可得實數的值；（2）討論兩種情況，當時， 當時，分別結合對數函數的圖象和性質,及復合函數同增異減的原則，可得函數在區間上的單調性；（3）由，可得函數在區間上的單調遞增，結合函數的定義域和奇偶性，解不等式，可得實數的取值范圍.

（1）∵（，且，）是定義在區間上的奇函數，

∴，

且，即，

即，

可得，

故，

又∵，

故，

（2）由（1）得，

令，則在區間上單調遞減，

當時，為減函數，此時函數在區間上的單調遞增；

當時，為增函數，此時函數在區間上的單調遞減；

（3）若，則，由（1）得，函數在區間上的單調遞增，

若，

則，

則，

則，

解得：.