Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，為線段的中點，為線段上一點.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）當平面時，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

分析：（1）因為所以平面，又因為平面，所以；（2）由等腰三角形的性質可得 ，由（1）知，，所以平面，從而平面平面；（3）先證明，結合（1）可得平面，從而可得三棱錐的體積為，進而可得結果.

詳解：（1）因為PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

又因為BD平面ABC，所以PA⊥BD.

（2）因為AB=BC，D為AC中點，所以BD⊥AC.

由（1）知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，

所以平面BDE⊥平面PAC.

（3）因為PA∥平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，

所以PA∥DE.

因為D為AC的中點，所以DE=PA=l，BD=DC=.

由（1）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC,

所以三棱錐E-BCD的體積V=BD·DC·DE=.