Question

【題目】已知點為橢圓的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個交點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與軸交于，過點的直線與橢圓交于兩不同點， ，若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ）求橢圓標準方程，只要求出參數，由于有，因此要列出關于的兩個方程，而由條件兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個公共點，即判別式為0可求得橢圓方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得點的坐標，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對斜率不存在時，求得，而當直線斜率存在時，可設出直線方程為，同時設，則，由韋達定理可把表示為的函數，注意直線與橢圓相交，判別式＞0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則橢圓為： ，

由，得 ，

直線與橢圓有且僅有一個交點，

，

橢圓的方程為 ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 直線與軸交于 ,

,

當直線與軸垂直時， ,

由 ,

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為， ，

由 ，

依題意得， ，且 ，

，

，

，

綜上所述， 的取值范圍是 .