Question

設f（x）定義域為D，若滿足：
（1）f（x）在D內是單調函數；
（2）存在[a，b]⊆D，使f（x）在x∈[a，b]時值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的閉函數．
當f（x）=2k+

x+4

時，k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：計算題,新定義,函數的性質及應用

分析：由已知中閉函數的定義，及函數f（x）的解析式，我們可得函數滿足條件（1），即在定義域D內是單調函數，若滿足條件（2）則f（x）=x在區間[-4，+∞）上有兩個根，利用換元法，可將條件轉化為t²-t-（4+2k）=0有兩個非負根，結合二次方程根與系數的關系，可得關于k的不等式組，進而求出k的范圍．

解答： 解：∵f（x）=2k+

x+4

在定義域D=[-4，+∞）上為增函數，
故滿足條件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域為[a，b]，
則f（x）=2k+

x+4

=x在區間[-4，+∞）上有兩個根，
令t=

x+4

（t≥0）
則原方程可化為t²-t-（4+2k）=0有兩個非負根，
即

△=1+4(4+2k)＞0 -(4+2k)≥0

，
解得-

17

8

＜k≤-

1

2

，
故k的范圍是（-

17

8

，-

1

2

]．
故答案為：（-

17

8

，-

1

2

]．

點評：本題考查的知識點是單調性的性質，其中正確理解新定義“閉函數”中的兩個條件的意義，是解答本題的關鍵．