Question

【題目】

已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0),的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).

（Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長軸長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得，

顯然，設(shè)，

則①

②

又，所以③

由①②③消去，得，

故直線的方程為或.

（Ⅲ）設(shè)，則中點(diǎn)為，因為兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

所以，即，解之得，

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.

聯(lián)立，消去，得：

.

由，得

，即，

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，

因此，橢圓長軸長的最小值為.