Question

已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，AD=4，AB=2，E，F分別是線段AB和BC的中點．
（1）證明：DF⊥平面PAF
（2）在線段AP上找一點G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析：（1）證明AF⊥DF，利用PA丄平面ABCD，可得PA⊥DF，利用線面垂直的判定定理，即可得出結論；
（2）過點E作EH∥FD，交AD于點H，則EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，從而平面GEH∥平面PFD，即可得出結論．

解答：（1）證明：連接AF，則AF=2

2

，DF=2

2

，
∵AD=4
∴AF²+DF²=AD²
∴AF⊥DF…（3分）
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF…（6分）
（2）解：過點E作EH∥FD，交AD于點H，則EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD．…（10分）
∵EG?平面GEH，∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點G為所求．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直，線面平行的判定定理是關鍵．