Question

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

Answer 1

分析：（I）線段PB的中點為G，連接EG，AG，由三角形的中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，我們易得到EF∥AG，結(jié)合線面平行的判定定理，我們易得到EF∥平面PAB；
（II）根據(jù)已知中PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，及PA=PB，G為AB的中點，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及等腰三角形三線合一，我們易證明AG⊥平面PBC，結(jié)合（I）中結(jié)論EF∥AG，即可得到結(jié)論；
（III）根據(jù)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，我們根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義判斷出動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的形狀及底面半徑、高等幾何量，代入圓錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）設(shè)線段PB的中點為G，連接EG，AG，
∵E為PC的中點，
∴EG∥BC且EG=

1

2

BC
又∵F為AD的中點，四邊形ABCD為正方形
∴AF∥BC且AF=

1

2

BC
∴EG∥AF且EG=AF
∴四邊形EGAF為平行四邊形
∴EF∥AG
又∵EF?平面PAB，AG?平面PAB
∴EF∥平面PAB；
（II）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，AB?平面PAB，AP?平面PAB，AP∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
又∵AG?平面PAB
∴AG⊥BC
又∵PA=PB，G為AB的中點
∴AG⊥PB
又∵PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B
∴AG⊥平面PBC，
由（I）知EF∥AG
∴EF⊥平面PBC；
解：（III）∵PM與平面ABCD所成的角始終為45°，PA⊥平面ABCD，
∴AM=PA=2，
又∵∠BAD=90°
∴點M的是以A為圓心，2為半徑的四分之一圓，
∴動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAD圍志的幾何是底面半徑為2，高為2的四分之一圓錐
∴V=

1

4

×(

1

3

×π×22)×2=

2π

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，圓錐的體積及直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間中線與面垂直及平行的判定和性質(zhì)，建立良好的空間能力是解答此類問題的關(guān)鍵．