Question

【題目】已知函數(shù)F（x）=g（x）+h（x）=ex ， 且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，2 ]
B.（﹣∞，2 ）
C.（﹣∞，2]
D.（﹣∞，2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
∴g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=﹣h（x）
∴ex =g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），
∴g（x）= ，h（x）= ．
∵x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即 ≥a 恒成立，
∴a≤ =（ex﹣e﹣x）+ ，
設(shè)t=ex﹣e﹣x ， 則函數(shù)t=ex﹣e﹣x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴0＜t，
此時(shí) 不等式t+ ≥2 ，當(dāng)且僅當(dāng)t= ，即t= 時(shí)，取等號，∴a≤2 ，
故選：A．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇即可以解答此題．