Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）證明CD⊥AE；
（2）證明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，

又AC⊥CD，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC，

∴CD⊥AE；

（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD∴PA⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩PA=A

∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD∴AB⊥PD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，則△ABC是正三角形．

∴AC=AB∴PA=PC

∵E是PC中點∴AE⊥PC

由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A

∴PD⊥平面ABE

（3）解：過E點作EM⊥PD于M點，連結AM，

由（2）知AE⊥平面PCD，則AE⊥PD，

則PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，

則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．

設AC=a，AD= = ，PA=A，PD= = a，

AM= = = ，

在Rt△AEM中，AE= a，EM= = = a，

則tan∠AME= = = ．

【解析】（1）運用線面垂直的判定和性質定理即可得證CD⊥AE；（2）運用線面垂直的性質和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）過E點作EM⊥PD于M點，連結AM，由（2）知AE⊥平面PCD，則AM⊥PD，則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通過解三角形AEM，即可得到所求值．