Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，

等價于 ①，或 ②，或 ③．

解①求得 x無解，解②求得0≤x＜ ，解③求得 ≤x≤ ，

綜上，不等式的解集為{x|0≤x≤ }

（2）解：由題意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，轉化為|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．

令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2= （a＞0），

易得h（x）的最小值為 ﹣1，令 ﹣1≥0，求得a≥2

【解析】（1）當a=1時，不等式等價于3個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化簡它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．