Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是AB，PD的中點，且PA=AD．

（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF∥平面PCE； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需證明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．

證明：（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，

∴FG為△CDP的中位線，FG∥CD，FG=CD．

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，∴AE∥CD，AE=CD．

∴FG=AE，FG∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，

∴AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE，

∴AF∥平面PCE；

（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD

PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又因為CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD

∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC

由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC

又EG平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．