Question

已知圓，設點是直線上的兩點，它們的橫坐標分別是，點在線段上，過點作圓的切線，切點為．

(1)若，求直線的方程；

(2)經過三點的圓的圓心是，求線段(為坐標原點）長的最小值．

 

Answer 1

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：(1)因為點在線段上，所以可假設點的坐標，又根據，所以可求出點的坐標，同時要檢驗一下使得點符合在線段上，再通過假設直線的斜率，利用點到直線的距離等于圓的半徑即可求出直線的斜率，從而得到切線方程；(2)因為經過三點的圓的圓心是，求線段 (為坐標原點)長，通過假設點的坐標即可表示線段的中點的坐標(因為)， 根據兩點間的距離公式寫出的表達式，接著關鍵是根據的范圍討論，因為的值受的大小決定的，要分三種情況討論即i) ；ii) ；iii) ；分別求出三種情況的最小值即為所求的結論.

試題解析：（1）設

解得或（舍去）

由題意知切線的斜率存在，設斜率為

所以直線的方程為，即

直線與圓相切，，解得或

直線的方程是或 6分

（2）設

與圓相切于點

經過三點的圓的圓心是線段的中點

的坐標是

設

當，即時，

當，即時，

當，即時,

則.

考點：1.直線與圓的位置關系；2.點到直線的距離公式；3.動區間的二次函數的最值問題；4.分類討論的思想.