Question

【題目】已知F為拋物線C：y2=2px（P＞0）的焦點，過F垂直于x軸的直線被C截得的弦的長度為4．

（1）求拋物線C的方程．

（2）過點（m，0），且斜率為1的直線被拋物線C截得的弦為AB，若點F在以AB為直徑的圓內，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x （2）．

【解析】

（1）可得2p=4，從而可得拋物線C的方程，

（2）直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，利用＜0，即可求得m的取值范圍．

解：（1）由條件得2p=4，∴拋物線C的方程為y2=4x，

（2）設直線方程為y=x-m，代入y2=4x得y2-4y+4m=0，△=16-16m＞0，m<1．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4，y1y2=4m

∵F（1，0），∴=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），

∵點F在以AB為直徑的圓內，∴∠AFB為鈍角，即＜0，

（x1-1）（x2-1）+y1y2＜0，

即x1x2-（x1+x2）+1+4m＜0，

∴-[（y1+y2）+2m]+1+4m＜0，

∴m2+2m-3＜0，

解得．