Question

【題目】如圖，四邊形中，，，，，，分別在，上，，現將四邊形沿折起，使平面平面.

（Ⅰ）若，在折疊后的線段上是否存在一點，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在存在一點，且，使平面.

（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）折疊后，連結，得，進而得平面，再由，，得到平面平面，進而得平面，即可得到結論；

（Ⅱ）根據題意得時，取是最大值，再由（Ⅰ）可以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求得平面和的的法向量，利用向量的夾角公式即可求解二面角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）在折疊后的圖中過作，交于，過作交于，連結，在四邊形中，，，所以.

折起后，，

又平面平面，平面平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，，

因為，，所以平面平面，因為平面，所以平面.

所以在存在一點，且，使平面.

（Ⅱ）設，所以，，

故

所以當時，取是最大值.

由（Ⅰ）可以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則

，，，，所以，，，，設平面的法向量，

則即

令，則，，則，

設平面的法向量，

則即

令，則，，則

所以.

所以二面角的余弦值為