Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）構成的：對于定義域內任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有．
（1）試判斷f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并說明理由；
（2）設f（x）∈A且定義域為（0，+∞），值域為（0，1），，試求出一個滿足以上條件的函數f （x）的解析式．

Answer 1

解：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）
對于f（x）∈A的證明．任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，
=
即．∴f（x）∈A（3分）
對于g（x）∉A，舉反例：當x₁=1，x₂=2時，
，
，
不滿足．∴g（x）∉A．（4分）

（2）函數，當x∈（0，+∞）時，
值域為（0，1）且．（6分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
則
=
即．
∴．是一個符合條件的函數．（8分）
分析：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．對于f（x）∈A的證明只要看是否滿足條件即可，用作差法進行驗證．g（x）∉A，可通過舉反例來證明，如取x₁=1，x₂=2，不滿足．
（2）受（1）的啟發，可從指數函數中去找，先按照條件“當x∈（0，+∞）時，
值域為（0，1）且”找到，再證明是否滿足條件條件即可．
點評：本題是一道情境題，主要考查不等式的證明以及不等式的應用，還考查了構造思想，如本題中f（x）構造類型f（x）=a^x或（k＞1）很常見．