Question

【題目】設是數列的前項和，對任意都有成立（其中是常數）.

（1）當時，求：

（2）當時，

①若，求數列的通項公式：

②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“數列”，如果，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有，且，若存在，求數列的首項的所有取值構成的集合；若不存在．說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②存在，首項所有取值構成的集合為。

【解析】

（1）當時，得到，進而得到，兩式作差，得到數列為等比數列，即可求解．

（2）①時，，進而得到，兩式作差，得到數列為等差數列，即可求解．

②確定數列的通項，利用是“數列”，得到是偶數，從而可得，再利用條件，驗證，即可求解數列的首項的所有取值．

（1）由題意，當時，得到，

用代替，可得，

兩式相減，可得，即，即，

令，可得，解答，

所以數列是以1為首項，公比為3的等比數列，

所以．

（2）①當時，，

用代替，可得，

兩式相減可得，

用代替，可得，

兩式相減，可得，即，

即，所以數列為等差數列，

因為，可得，

又由，解得

所以數列的通項公式為．

②由①知數列是等差數列，因為，所以，

又由是“封閉數列”，可得：

對任意，必存在，使得，

解得，所以為偶數，

又由已知，可得，所以，

（i）當時，，

對于任意，都有，

（ii）當時，，則，

則，

取，則，不合題意；

當時，，則，

則，符合題意；

當時，，則，

所以，

又由，

所以或或或，

所以首項所有取值構成的集合為．