Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E、F分別是PB，AB的中點．
（1）求證：CD∥面PAB；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得CD∥AB，由此能證明CD∥面PAB．
（2）由已知得EF∥PA，CD⊥PD，CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明CD⊥EF．
（3）由V_B-DEF=V_F-BDE，利用等積法能求出三棱錐B-DEF的體積．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
∴CD∥AB，
∵CD不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥面PAB．
（2）證明：∵E、F分別是PB，AB的中點，
∴EF∥PA，
∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
又PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA，
∴CD⊥EF．
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，
E、F分別是PB，AB的中點，
∴F到平面BDE的距離h=

1

2

PD=1，
S_△BDE=

1

4

S正方形ABCD=

1

4

×22=1，
∴V_B-DEF=V_F-BDE=

1

3

×h×S△BDE=

1

3

×1×1=

1

3

．
∴三棱錐B-DEF的體積為

1

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．