Question

已知拋物線Γ：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖所示，直線l₁與拋物線Γ相交于A、B兩點，C為拋物線Γ上異于A、B的一點，且AC⊥x軸，過B作AC的垂線，垂足為M，過C作直線l₂交直線BM于點N，設l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=1．
（i）線段|MN|的長是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由；
（ii）求證：A，B，C，N四點共圓．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的簡單性質

專題：計算題,證明題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意焦點到準線的距離等于p；
（Ⅱ）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（x₁，-y₁），M（x₁，y₂）；從而寫出直線l₁的方程，與拋物線方程聯立整理可得k²₁x²+（2bk₁-4）x+b²=0，從而利用韋達定理可得x₁+x₂=

4-2bk1

k 2 1

，x₁x₂=

b2

k 2 1

；再求出N（

y1+y2

k2

+x₁，y₂）；從而可得|MN|=

y1+y2

k2

=

4

k1k2

=4為定值；
（ii）寫出AB的中點E（

2-bk1

k 2 1

，

2

k1

）；從而可得AB的中垂線方程為：y-

2

k1

=-

1

k1

（x-

2-bk1

k 2 1

）；與BC的中垂線x軸的交點為：O′（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

，0）；從而寫出△ABC的外接圓的方程為：（x-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；說明都在圓上即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，p=2；
（Ⅱ）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（x₁，-y₁），M（x₁，y₂）；
直線l₁的方程為y=k₁x+b，
由

y=k1x+b y2=4x

消元整理可得：
k²₁x²+（2bk₁-4）x+b²=0，
所以x₁+x₂=

4-2bk1

k 2 1

，x₁x₂=

b2

k 2 1

；
可得y₁+y₂=

4

k1

；y₁y₂=

4b

k1

；
直線l₂的方程為：y+y₁=k₂（x-x₁），
所以可求得N（

y1+y2

k2

+x₁，y₂）；
所以|MN|=

y1+y2

k2

=

4

k1k2

=4；
（ii）證明：AB的中點E（

2-bk1

k 2 1

，

2

k1

）；
則AB的中垂線方程為：y-

2

k1

=-

1

k1

（x-

2-bk1

k 2 1

）；
與BC的中垂線x軸的交點為：O′（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

，0）；
所以△ABC的外接圓的方程為：
（x-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；
由上可知，N（x₁+4，y₂）；
∵x₁+4-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

+x₂-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

=x₁+x₂+4-2

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

=0，
∴（x₁+4-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²₂=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；
所以A，B，C，N四點共圓．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線方程的聯立的化簡與證明，屬于難題．