Question

【題目】邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）設點F是棱BC上一點，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值為 ，試確定點F在BC上的位置．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，

又∵AD⊥CD，AE∩AD=A，

∴CD⊥面ADE，

又CD面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ADE．

（2）解：∵CD⊥DE，

∴如圖，以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面CDE的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則： ，

∴ ，∴ ，

設 ，λ∈[0，1]

則 …（10分）

設平面FDE的法向量為 ，

則 ，取z=﹣2，得 ，

又平面ADE的法向量為 ，

∴ ，∴ ，

故當點F滿足 時，二面角A﹣DE﹣F的余弦值為

【解析】（1）推導出AE⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥面ADE，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．（2）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，過D作平面CDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出當點F滿足 時，二面角A﹣DE﹣F的余弦值為 ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．