Question

【題目】有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤上標(biāo)有第0站（出發(fā)地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子開始在出發(fā)地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或跳到第100站（失敗）時(shí)，該游戲結(jié)束. 設(shè)棋子跳到第站的概率為.

（1）求，，，并根據(jù)棋子跳到第站的情況寫出與、的遞推關(guān)系式（）；

（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1)棋子開始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，;棋子跳到第2站，有兩種情況，是互斥事件，分別求出，相加即可；依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：棋子先跳到站和棋子先跳到站,它們是互斥事件，根據(jù)互斥事件的加法公式即得， （2）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，需證明是常數(shù)，

將兩邊同減去，構(gòu)成即可；

（3）由（2）知，得，將的前99項(xiàng)相加即可

解：（1）棋子開始在第0站是必然事件，；

棋子跳到第1站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為；

棋子跳到第2站，有兩種情況，

①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；

②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；

依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：

第一種，棋子先跳到站，又?jǐn)S出反面，其概率為；

第二種，棋子先跳到站，又?jǐn)S出正面，其概率為.

∴

故有： ，，，.

（2）由（1）知，，

，又，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（3）由（2）知，，

∴

.

∴玩該游戲獲勝的概率為

故答案為：.