Question

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，C，D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（1）求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）求證：OF∥AG．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CF=FG

∴∠CGF=∠FCG

∴AB圓O的直徑

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵CE⊥AB

∴∠CEA=90°

∵∠CBA=90°﹣∠CAB，∠ACE=90°﹣∠CAB

∴∠CBA=∠ACE

∵∠CGF=∠DGA，

∴∠DGA=∠ABC

∴∴∠CAB=∠DAC

∴C為劣弧BD的中點，

∴AC是∠DAB的平分線；

（2）解：∵∠GBC=90°﹣∠CGB，∠FCB=90°﹣∠GCF

∴∠GBC=∠FCB

∴CF=FB

同理可證：CF=GF

∴BF=FG，

∵OA=OB，

∴OF∥AG．

【解析】（1）要證明C是劣弧BD的中點，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據同角的余角相等，得到結論．（2）由已知及（I）的結論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進而得到結論．