Question

【題目】知函數 (、為常數)，曲線在點處的切線方程是．

（1）求、的值

（2）求的最大值

（3）設，證明：對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明過程詳見解析

【解析】

（1）由，及，解出、的值；

（2）求，得的單調性，求出最值；

（3）對任意， 等價于，

令 ，可求得的最大值為 ，

即 ．

設 ，可得 ，即，

，命題得證

解：（1）由 ，得，

由已知得，解得．

又．

（2）由(1)得： ，

當時， ，所以；

當時， ，所以，

∴當時， ；當時， ，

的單調遞增區間是，單調遞減區間是，

時， ．

（3）證明：．

對任意， 等價于，

令 ，則 ，

由 得： ，

∴當 時， ， 單調遞增；

當 時， ， 單調遞減，

所以的最大值為 ，即 ．

設 ，則 ，

∴當 時， 單調遞增， ，故當 時， ，即， ，

∴對任意，都有 ．