Question

【題目】已知，是曲線上任意一點，動點滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交于，兩點，過原點與點的直線交直線于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設，，由推出代入方程即可求解點的軌跡的方程；（2）直線的斜率存在，其方程可設為，設，，聯立，利用韋達定理，轉化求解斜率，推出結果即可．

解：（1）設，，由得：，

則，

即，

因為點B為曲線上任意一點，故，代入得.

所以點的軌跡的方程是．

（2）依題意得，直線的斜率存在，其方程可設為，

設，，

聯立得，

所以，.

因為直線的方程為，

且是直線與直線的交點，所以的坐標為.

根據拋物線的定義等于點到準線的距離，由于在準線上，

所以要證明，只需證明垂直準線，

即證軸．

因為的縱坐標.

所以軸成立，所以成立．