Question

【題目】某個體戶計劃經銷A，B兩種商品，據調查統計，當投資額為x(x≥0)萬元時，在經銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時收益為零．

(1)求a，b的值；

(2)如果該個體戶準備投入5萬元經銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案見解析.

【解析】

(1)利用已知條件通過f(0)=0，g(0)＝0即可得出a、b的值。

(2)設投入B商品的資金為x萬元(0＜x≤5) 則投入經銷A商品的資金為(5－x)萬元，

設所獲得的收益為S(x)萬元，則S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10，(0＜x≤5)通過函數的導數，求出函數的最值即可。

(1)由投資額為零時收益為零，

可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，

解得a＝2，b＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．

設投入經銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，

則投入經銷A商品的資金為(5－x)萬元，

設所獲得的收益為S(x)萬元，則S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．

S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.

當0＜x＜2時，S′(x)＞0，函數S(x)單調遞增；

當2＜x≤5時，S′(x)＜0，函數S(x)單調遞減．

所以，當x＝2時，函數S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6萬元．

所以，當投入經銷A商品3萬元，B商品2萬元時，他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元．