Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．

由為菱形可得，連接和與的交點，

由等腰三角形性質可得，即能證得平面；

（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據向量法求出二面角的余弦值．

（1）如圖，設與相交于點，連接，

又為菱形，故，為的中點.

又，故.

又平面，平面，且，

故平面，又平面，

所以平面平面.

（2）由是等邊三角形，可得，故平面，

所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.

不妨設，則，，

則，，，，，，

設為平面的法向量，

則即可取，

設為平面的法向量，

則即可取，

所以.

所以二面角的余弦值為0.