Question

【題目】如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上， 都是正三角形.

（1）證明：直線∥面；

（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值是，若不存在請說明理由，若存在請求出點所在的位置。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）通過證明，證得平面平面,由此證得平面.（2）設的中點為，以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系設出點的坐標，利用平面和平面的法向量計算二面角的余弦值，由此列方程解出點的坐標，確定為的中點.

（1）依題意，在平面中，，

又平面，平面 ①；同理，在平面中，

，平面 ②； 面， 面，面，面，

由①②可得，平面 平面.又面，所以直線∥面.

（2）設的中點為，以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系。易知，，，,.

設，.可得，設為平面的法向量，

由有，可取，

又面的法向量可取，所以，

所以，又，。

存在滿足條件的點，為中點。