Question

下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖,空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到達當日空氣重度污染的概率；
(Ⅱ)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望.

Answer 1

(I)；(II)分布列詳見解析，期望為.

解析試題分析：(I) 3月1日至3月13日中,只有5日與8日為重度污染，再根據古典概率的求法即可得到所求概率；(Ⅱ)先確定X可能的取值0、1、2共三種,然后根據圖像分別計算X為0、1及2時的概率.即可得到分布列，從而求出期望.
試題解析：設表示事件“此人于3月i日到達該市”(="1,2,,13)."
根據題意, ,且.   4分
(I)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”,則,
所以.
(II)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且
P(X=1)=P(A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁)= P(A₃)+P(A₆)+P(A₇)+P(A₁₁)= ,
P(X=2)=P(A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃)= P(A₁)+P(A₂)+P(A₁₂)+P(A₁₃)= ,
P(X="0)=1-P(X=1)-P(X=2)=" ,   10分
所以X的分布列為:
        11分
故X的期望.   12分
考點：1.古典概率；2.分布列與期望.